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Elige una puerta. Monty revela una cabra. ¿Cambias? Descubre por qué la probabilidad de ganar cambiando es el doble que quedándote.
Haz clic en una puerta para elegirla.
Por qué la intuición nos engaña y cómo la probabilidad condicional lo explica
El Problema de Monty Hall toma su nombre del presentador del concurso televisivo estadounidense Let's Make a Deal. La situación es aparentemente sencilla: hay tres puertas, detrás de una hay un coche (en Latinoamérica también se le llama carro o auto) y detrás de las otras dos hay cabras. El concursante elige una puerta; después, el presentador (que sabe dónde está el coche) abre otra puerta revelando una cabra; finalmente el concursante puede quedarse con su elección o cambiar a la puerta que queda cerrada.
La pregunta es: ¿conviene cambiar? La respuesta sorprende a casi todo el mundo: sí, cambiar dobla la probabilidad de ganar. No es un truco, es matemática.
| Estrategia | Probabilidad de ganar | En 1.000 partidas | Intuición habitual | ¿Es óptima? |
|---|---|---|---|---|
| Cambiar siempre | 2/3 ≈ 66,7 % | ~667 victorias | Parece arriesgado | ✅ Sí |
| No cambiar nunca | 1/3 ≈ 33,3 % | ~333 victorias | Parece "leal" a tu elección | ❌ No |
| Cambiar aleatoriamente | 1/2 = 50,0 % | ~500 victorias | Parece justo | ⚠️ Intermedia |
Imagina 100 puertas, solo una con el coche (carro o auto). Eliges la número 37. Monty abre 98 puertas con cabras y deja cerrada la número 82. ¿Cambiarías? La probabilidad de que el coche esté en la 82 es del 99 %. Con solo 3 puertas el efecto es idéntico, aunque menos obvio.
Si Monty abriera una puerta al azar (y a veces revelara el coche por error), la probabilidad de ganar cambiando sí sería del 50 %. El problema clave es que Monty siempre sabe dónde está el coche y nunca lo revela. Esa información asimétrica lo cambia todo.
Marilyn vos Savant publicó la solución correcta en 1990 en Parade Magazine. Recibió más de 10.000 cartas de protesta, incluidas cientos de matemáticos. Una columna de respuesta con simulaciones físicas demostró que tenía razón. Hoy es uno de los ejemplos más citados de sesgo de confirmación.
Con k puertas, si Monty abre m de ellas (todas con cabras), la probabilidad de ganar cambiando es (k−1) / [k·(k−1−m)]. Con k=3 y m=1 obtenemos 2/3. Con k=100 y m=98 obtenemos 99/100. El principio es siempre el mismo: Monty transfiere información.
Porque las dos puertas no tienen la misma historia. Al inicio elegiste con 1/3 de probabilidad. Esa probabilidad no desaparece porque Monty abra una puerta. La puerta que elegiste sigue teniendo probabilidad 1/3 y la restante concentra los 2/3 que antes estaban repartidos entre las otras dos. Quedan dos puertas físicas, pero su peso probabilístico es diferente.
💡 Piénsalo así: si eligieras aleatoriamente entre las dos puertas restantes, sí sería 50/50. Pero "no cambiar" no es elegir aleatoriamente: es quedarte con tu elección original, que siempre tuvo 1/3.
Monty sabía exactamente dónde estaba el coche. Esta información asimétrica es la clave. Su acción (abrir una puerta con cabra) no es aleatoria: es siempre deliberada y restringida. Al actuar así, transfiere probabilidad implícita a la puerta que no abre. Si Monty eligiera al azar y a veces abriera el coche, el problema sería diferente.
💡 Esta asimetría de información aparece constantemente en economía (mercados, subastas), medicina (diagnósticos diferenciales) y teoría de juegos.
Vos Savant propuso un experimento mental: si 300 personas juegan siempre cambiando y 300 nunca cambian, al contarlo el primer grupo debería tener ~200 victorias y el segundo ~100. También se hicieron experimentos físicos con estudiantes, y los resultados confirmaron 2/3 vs 1/3. Hoy puedes reproducirlo con este simulador en segundos.
💡 El debate de 1990–1991 es un caso de libro de texto sobre cómo la intuición humana falla sistemáticamente con la probabilidad condicional.
La probabilidad condicional P(A|B) mide la probabilidad de A dado que B ha ocurrido. En el problema de Monty Hall: P(coche en puerta 2 | Monty abre puerta 3) se calcula con el teorema de Bayes. El resultado es 2/3, no 1/2. El evento "Monty abre la puerta 3" actualiza nuestras creencias sobre dónde está el coche, y lo hace de forma asimétrica.
💡 Bayes: P(coche en j | Monty abre k) = P(Monty abre k | coche en j) · P(coche en j) / P(Monty abre k). Para la puerta no elegida, P(Monty abre k | coche en j) = 1 (Monty siempre abre la única cabra disponible), lo que eleva la probabilidad posterior a 2/3.
Sí. Con k puertas, c coches y m puertas abiertas por Monty (todas con cabras), la probabilidad de ganar cambiando es mayor que no cambiando siempre que c/k < 1 (no todos los premios son coches) y m ≥ 1. La intuición del 50/50 solo funciona cuando la información que proporciona Monty es completamente aleatoria y simétrica, lo que no ocurre en el problema original.
💡 En el caso límite c = k−1 (solo una cabra), cambiar siempre pierde: Monty revelaría k−2 coches y la única cabra estaría en la puerta que no elegiste. Aquí sí conviene quedarse.
Al elegir una puerta al azar entre tres, la probabilidad de acertar es 1/3. La probabilidad de que el coche esté en una de las otras dos es 2/3. Anótatelo.
Monty siempre abre una puerta con cabra que no es la tuya. No actúa al azar: sabe dónde está el coche y su acción está restringida. Esto transfiere información.
La probabilidad de tu puerta original (1/3) no cambia porque Monty abre otra. La probabilidad total de 2/3 que había en las otras dos puertas ahora se concentra en la única puerta que Monty dejó cerrada.
Cambiar siempre: probabilidad 2/3. Quedarte siempre: 1/3. Si quieres maximizar tus ganancias a largo plazo, la respuesta racional es cambiar en cada partida.
La ley de los grandes números garantiza que con suficientes partidas los porcentajes observados convergen a los teóricos. Usa el modo automático de este simulador: con 10.000 simulaciones obtendrás resultados muy cercanos a 66,7 % y 33,3 %.
En cualquier juego o negociación, si alguien que sabe más que tú te da una opción, esa opción lleva información implícita. Actualiza tus probabilidades según sus acciones, no solo sus palabras.
El cerebro humano sobrevalora la "lealtad" a la primera elección (efecto dotación). En probabilidad pura, lo que elegiste antes no tiene valor sentimental: solo importan las probabilidades actualizadas.
Ante decisiones bajo incertidumbre, puedes modelar el problema con simulaciones rápidas. Una hoja de cálculo o unos minutos de código son suficientes para validar si tu intuición coincide con los datos.
Que queden dos puertas no significa que cada una tenga 50 % de probabilidad. La distribución de probabilidades depende del proceso que generó la situación, no del número de opciones visibles.