ω₀ = √(k/m) · T = 2π/ω₀ · x(t) = A·cos(ω₀t)·e^(−γt/2m) · E_total = ½·k·A²Gráfica x(t) — posición en el tiempo
Energías del sistema
Aprende sobre el MAS
El resorte como modelo oscilatorio fundamental de la física
El movimiento armónico simple (MAS) es el prototipo de toda oscilación en física. El sistema masa-resorte cumple exactamente la ley de Hooke (F = −k·x) y su ecuación de movimiento admite solución analítica exacta. Desde la mecánica cuántica (potencial cuadrático) hasta la ingeniería estructural, este modelo aparece como aproximación de primer orden de cualquier sistema cercano al equilibrio.
Sistemas oscilatorios: comparativa
| Sistema | ω₀ característico | Variable oscilante | Analogía con k/m | Aplicación real | Amortiguado natural |
|---|---|---|---|---|---|
| Masa-resorte | √(k/m) | Posición x | — | Suspensión de vehículos | Fricción, amortiguadores |
| Péndulo simple | √(g/L) | Ángulo θ | g/L ↔ k/m | Relojes de péndulo | Resistencia del aire |
| Circuito LC | 1/√(LC) | Carga q | 1/LC ↔ k/m | Sintonizadores de radio | Resistencia R |
| Onda sonora | k_s/m_mol (cristal) | Desplazamiento de moléculas | Rigidez/masa efectiva | Instrumentos musicales | Viscosidad del medio |
| Molécula diatómica | √(k_bond/μ) | Distancia de enlace | k_bond/μ (masa reducida) | Espectroscopía IR | Emisión de fotones |
| Cristal (red Bravais) | √(K/m_atom) | Desplazamiento del átomo | Constante de red K/m | Conductividad térmica | Anharmonicidad |
Escenarios reales del MAS
Suspensión de un automóvil
Cada rueda actúa como un sistema masa-resorte con amortiguador. El ingeniero ajusta k y γ para que el período de rebote sea cómodo (~1 s) y el sistema esté subamortiguado (vuelve al equilibrio sin oscilar en exceso).
Sismógrafo
La masa inercial queda estática mientras el armazón se mueve con el suelo. El resorte convierte ese desplazamiento relativo en una señal medible. La frecuencia propia ω₀ determina qué frecuencias sísmicas registra mejor.
Amortiguador de masa sintonizada (TMD)
Los rascacielos modernos incorporan una masa gigante (hasta 800 t) suspendida con resortes. Su k y m se ajustan para que ω₀ coincida con la frecuencia de resonancia del edificio, cancelando las oscilaciones por viento o seísmos.
Cristal de cuarzo en relojes
El cuarzo piezoeléctrico vibra como un MAS de cuarzo sólido con ω₀ = 2π × 32 768 Hz. Su constante k es altísima y su amortiguamiento mínimo, lo que le da una frecuencia estabilísima: error de 1 s por mes.
Preguntas frecuentes
La ecuación de movimiento ẍ = −(k/m)·x es lineal: si doblas x, la fuerza también se dobla. El resultado es que la relación ω₀ = √(k/m) no contiene A. Geométricamente, la partícula recorre el doble de distancia pero con el doble de fuerza media → mismo período.
💡 Esta propiedad (isocronismo) es lo que hace al MAS útil en relojería. El péndulo la cumple solo para ángulos pequeños.
Con γ_c = 2·√(k·m), el sistema regresa al equilibrio en el menor tiempo posible sin oscilar. Si γ < γ_c: subamortiguado (oscila con amplitud decreciente). Si γ > γ_c: sobreamortiguado (vuelve lentamente sin oscilar).
💡 Las puertas con muelle hidráulico están diseñadas cerca del crítico para cerrar suave pero rápido.
Ambos son MAS aproximado. El resorte es exacto (para cualquier amplitud, siempre que k sea constante). El péndulo solo es MAS para ángulos pequeños (sin θ ≈ θ). La diferencia técnica: ω₀(resorte) = √(k/m), ω₀(péndulo) = √(g/L).
Método estático: colgar masa conocida m y medir el alargamiento Δx. Por la ley de Hooke: k = m·g / Δx. Método dinámico: medir el período T con cronómetro (mejor 10 oscilaciones), entonces k = (2π/T)² · m.
💡 El método dinámico es más preciso porque promedia muchos ciclos y elimina el error humano de reacción.
El sistema entra en régimen sobreamortiguado. Las dos raíces de la ecuación característica son reales y negativas: la solución es suma de dos exponenciales decrecientes, sin oscilación alguna. La masa vuelve al equilibrio monótonamente, aunque más despacio que en el caso crítico.
Cómo resolver un problema de MAS — paso a paso
¿Cuál es la masa m y la constante k del resorte? ¿Hay amortiguamiento γ? ¿Cuáles son las condiciones iniciales x(0) y v(0)?
Aplica ω₀ = √(k/m), T = 2π/ω₀ y f = 1/T. Estas magnitudes no dependen de la amplitud (isocronismo del MAS).
Si x(0) = A y v(0) = 0: x(t) = A·cos(ω₀·t). En general: A = √(x₀² + (v₀/ω₀)²) y tan φ = −v₀/(ω₀·x₀).
Sin amortiguamiento: x(t) = A·cos(ω₀·t + φ). Con amortiguamiento: x(t) = A·e^(−γt/2m)·cos(ω_d·t + φ) donde ω_d = √(ω₀² − (γ/2m)²).
E_total = ½·k·A² = ½·m·v² + ½·k·x² en cada instante (sin fricción). Si hay amortiguamiento, E_total decrece con e^(−γt/m).
Consejos para el examen
Útiles para preparar física en Bachillerato y selectividad (EBAU/EVAU) en España, o en preparatoria, secundaria, educación media y el examen de admisión universitaria en Latinoamérica.
Si la fuerza neta es proporcional al desplazamiento y apunta al equilibrio (F = −k·x), es MAS.
k se mide en N/m = kg/s². Verifica dimensiones: [ω₀] = √(kg/s² / kg) = 1/s = rad/s.
Mide la distancia entre dos máximos consecutivos (o entre dos cruces de cero en el mismo sentido).
v_max = ω₀·A ocurre en x = 0 (toda la energía es cinética). En los extremos v = 0 y E es toda potencial.
- Confundir ω₀ con f: ω₀ es en rad/s y f en Hz. La relación es ω₀ = 2π·f, no ω₀ = f.
- Olvidar que T no depende de A: doblar la amplitud no cambia el período — cambia la energía (E ∝ A²) pero no T.
- Usar γ en vez de ω_amortiguado: con amortiguamiento, la frecuencia de oscilación es ω_d = √(ω₀² − (γ/2m)²), no ω₀.
- Confundir E_k y E_p en los extremos: en x = ±A (extremos), toda la energía es potencial (E_k = 0). En x = 0 (equilibrio), toda es cinética (E_p = 0).
- Usar la fórmula de ω₀ del péndulo en un resorte:ω₀(péndulo) = √(g/L) ≠ √(k/m). Son sistemas distintos, aunque ambos son MAS.