En cualquier triángulo con un ángulo recto, el cuadrado construido sobre el lado opuesto a ese ángulo —la hipotenusa— tiene la misma área que los cuadrados construidos sobre los otros dos lados —los catetos— sumados. En símbolos, c² = a² + b². La hipotenusa es siempre el lado más largo, porque está enfrente del ángulo mayor.
La relación es de doble sentido. Si un triángulo es rectángulo, sus lados cumplen esa igualdad; y si tres longitudes cumplen la igualdad, el triángulo que forman es rectángulo. Esa segunda mitad se llama recíproco, y es la que se usa fuera del aula para comprobar que una esquina está a escuadra sin necesidad de un transportador.
El teorema se entiende en cinco minutos y se aplica mal durante meses, casi siempre por confundir qué lado es la hipotenusa cuando el dibujo está girado.
Empieza por la pestaña Explorar con catetos muy desiguales (1 y 20): ver que la hipotenusa se pega al cateto largo fija la idea mejor que memorizar la fórmula.
Dibujar a mano los tres cuadrados en la pizarra cuesta varios minutos y solo sirve para un par de números concretos.
La pestaña Demostración visual redibuja los tres cuadrados con cada movimiento del deslizador, y los números de las áreas se actualizan a la vez.
La altura de un poste, la longitud de un cable tenso o si una tabla pasa por una puerta son medidas incómodas de tomar directamente.
Casi siempre hay dos distancias fáciles de medir en el suelo que forman ángulo recto: con esas dos, la tercera sale sin subirse a ningún sitio.
En las pruebas de acceso el teorema rara vez aparece solo: viene dentro de un problema de áreas, de semejanza o de geometría analítica.
Los casos 9 y 12 son los dos disfraces más frecuentes: Pitágoras aplicado dos veces en tres dimensiones, y la distancia entre dos puntos por coordenadas.
¿Cómo distingo la hipotenusa de los catetos si el dibujo está girado?
No mires la orientación, mira el ángulo recto. Los dos lados que forman el ángulo recto son los catetos; el que queda enfrente, sin tocarlo, es la hipotenusa. Es también el lado más largo de los tres, así que si tu «hipotenusa» es más corta que algún otro lado, la has identificado mal.
Truco rápido: la hipotenusa es el único lado que no toca la marca del ángulo recto.
¿Por qué al buscar un cateto hay que restar?
Porque la fórmula sigue siendo la misma, solo que la incógnita ha cambiado de sitio. De c² = a² + b² se despeja b² = c² − a², y el orden importa: se resta el cuadrado del cateto al de la hipotenusa, nunca al revés. Si sale un número negativo dentro de la raíz, es señal de que los datos están intercambiados.
En la pestaña Resolver, poner una hipotenusa menor que el cateto devuelve un aviso en vez de un número, precisamente para que ese error se vea.
¿Vale el teorema para cualquier triángulo?
No. Necesita un ángulo de exactamente 90°. En un triángulo acutángulo, la suma de los cuadrados de los dos lados menores es mayor que el cuadrado del lado grande; en uno obtusángulo, es menor. Para triángulos cualesquiera existe una versión general, el teorema del coseno, que añade un término de corrección y se reduce a Pitágoras cuando el ángulo es recto.
El modo recíproco de esta página clasifica el triángulo en las tres categorías, no solo responde sí o no.
¿Qué son las ternas pitagóricas y por qué conviene conocerlas?
Son tríos de números enteros que cumplen la igualdad de forma exacta: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29. Conocer tres o cuatro ahorra tiempo, porque los enunciados las usan mucho para que los resultados salgan redondos. Una terna es primitiva cuando sus números no comparten divisores: 6-8-10 es terna, pero se obtiene multiplicando 3-4-5 por dos.
Si ves 3 y 4, o 5 y 12, en un enunciado, sospecha: probablemente el resultado sea entero y puedas verificarlo de cabeza.
¿Por qué mi resultado tiene tantos decimales?
Porque la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto es irracional: tiene infinitos decimales sin periodo. La hipotenusa de dos catetos de 1 es √2, que ninguna calculadora escribe entera. Lo correcto es operar con todos los decimales y redondear solo al final, indicando cuántas cifras se conservan.
Redondear a mitad de camino y seguir calculando arrastra el error: en un problema con dos pasos, como la diagonal de una caja, se nota en el segundo decimal.
¿Cómo se aplica en tres dimensiones?
Aplicándolo dos veces seguidas. Para la diagonal de una caja se calcula primero la diagonal del fondo con el largo y el ancho, y después se usa esa diagonal junto con la altura como catetos de un segundo triángulo rectángulo, este vertical. El atajo D = √(l² + a² + h²) es exactamente esa misma cuenta condensada.
El caso 9 lo desarrolla con los dos triángulos separados, que es como conviene entenderlo antes de usar el atajo.
¿Sirve para comprobar que una esquina está bien escuadrada?
Sí, y es el uso práctico más antiguo del recíproco. Se miden 3 unidades por un lado y 4 por el otro desde la esquina; si la distancia entre esas dos marcas es exactamente 5, el ángulo es recto. Con múltiplos mayores —30, 40 y 50 centímetros— el método gana precisión, porque un error de medida pesa proporcionalmente menos.
Es el mismo principio del «método 3-4-5» que se usa al replantear una obra o al montar un bastidor.
📐Una sola unidadConvierte todo a la misma unidad antes de elevar al cuadrado. Mezclar metros y centímetros da resultados que parecen razonables y no lo son.
🎯Redondea solo al finalArrastra los decimales durante toda la cuenta y recorta al escribir la respuesta. En problemas de dos pasos, redondear a mitad se nota en el resultado.
🔢Memoriza dos o tres ternasCon 3-4-5 y 5-12-13 en la cabeza reconoces al vuelo la mitad de los enunciados y puedes verificar el resultado sin calculadora.
✏️Dibuja siempreUn croquis con los datos escritos encima convierte un problema de texto en un problema de geometría, que es mucho más fácil de leer.
🔍Usa el recíproco para verificarSi ya tienes los tres lados, comprobar que cumplen la igualdad confirma de paso que no te has equivocado al operar.
🧱Divide los problemas en 3DAnte una caja o una pirámide, busca primero un triángulo rectángulo plano que puedas resolver y usa su resultado como cateto del siguiente.