Mueve las rectas paralelas y comprueba que la proporción se mantiene, ajusta la razón de semejanza y descubre por qué el área se multiplica por k², calcula alturas con sombras y resuelve escalas de planos y mapas. Con 12 casos numerados iguales para toda la clase de secundaria.
Las tres rectas discontinuas son paralelas. Muévelas y cambia la inclinación de cada secante: los segmentos cambian de longitud, pero la razón entre ellos es la misma en las dos secantes. Eso es exactamente lo que afirma el teorema de Tales.
Las dos razones coinciden por muy torcidas que estén las secantes: la proporción solo depende de dónde están las paralelas. Si inclinas una secante hasta ponerla casi horizontal, los segmentos se alargan muchísimo, y aun así la razón no se mueve.
Escribe los tres segmentos conocidos de la proporción a / b = a′ / b′ y obtén el cuarto proporcional con el desarrollo completo. Acepta coma o punto decimal.
Este contenido es educativo y orientativo.
Qué se multiplica por qué, cómo se plantea la proporción y en qué se equivoca casi todo el mundo
La semejanza conserva la forma y cambia el tamaño. Esa frase suena inofensiva, pero esconde la trampa más repetida del tema: no todas las magnitudes cambian igual. Los ángulos no se enteran de nada, las longitudes siguen fielmente a la razón k, las áreas van al cuadrado y los volúmenes al cubo.
| Magnitud | Se multiplica por | Con k = 3 | Error frecuente |
|---|---|---|---|
| Ángulo | 1 (no cambia) | Los mismos grados | Creer que al ampliar los ángulos «se abren» |
| Lado | k | 3 veces mayor | Aplicar k al lado equivocado por no emparejar bien |
| Perímetro | k | 3 veces mayor | Elevar k al cuadrado también aquí |
| Área | k² | 9 veces mayor | Multiplicar por 3 en vez de por 9 |
| Volumen | k³ | 27 veces mayor | Pensar que un modelo al doble pesa el doble |
Una vara de 1,5 m da 2 m de sombra y un árbol da 9,2 m a la misma hora: el árbol mide 6,9 m. Sirve igual para un poste, una torre o un edificio, y solo hace falta una cinta métrica.
Por qué funciona: los rayos del Sol llegan prácticamente paralelos, así que los dos triángulos comparten los ángulos y son semejantes por AA.
En un mapa 1:25.000, 6,8 cm entre dos puntos son 1,7 km reales. En un plano de vivienda 1:50, una pared de 7,4 cm mide 3,7 m.
Por qué funciona: un plano es una figura semejante al terreno con razón 1/N, y las áreas del plano se comportan como N² respecto a las reales.
Un cartel que se imprime al doble de ancho y de alto necesita cuatro veces más superficie de papel y de tinta, no el doble. Lo mismo pasa al escalar una imagen o una maqueta.
Por qué funciona: el presupuesto sigue al área, y el área va con k². Es la aplicación económica más directa del tema.
Para dividir una tabla en cinco partes iguales sin calculadora, se traza una recta auxiliar con cinco marcas equidistantes y se unen con paralelas: Tales hace el reparto.
Por qué funciona: si los segmentos de una secante son iguales, los de la otra también lo son, porque todas las razones valen 1.
Aunque el enunciado no traiga dibujo. Un esquema con los cuatro segmentos anotados evita el 90 % de los errores de emparejamiento, que son los que más puntúan en negativo.
Tales exige rectas paralelas; la semejanza exige que se cumpla AA, LAL o LLL. Si el enunciado no lo da ni se deduce, no puedes plantear la proporción: el resultado sería inventado.
El segmento «de arriba» de una secante va con el «de arriba» de la otra. Escribe la proporción siempre en el mismo orden: a / b = a′ / b′, nunca a / b = b′ / a′.
De a / b = a′ / b′ sale b′ = b · a′ / a. Trabaja con la fracción entera y redondea solo al final: redondear a mitad de camino es la causa habitual de que el resultado quede «casi bien».
Los dos miembros de la proporción deben ir en la misma unidad. En escalas, pasa todo a centímetros primero y convierte al final: mezclar centímetros del plano con metros reales es el error clásico de esa parte.
Si el segmento buscado debía ser mayor que el conocido y te sale menor, la proporción está invertida. Un árbol de 0,7 m o una pirámide de 3 km avisan de que algo se ha colado.
Dos figuras iguales (congruentes) coinciden al superponerlas: tienen los mismos ángulos y los mismos lados. Dos figuras semejantes tienen los mismos ángulos, pero sus lados guardan una razón constante k que puede ser distinta de 1. La igualdad es, por tanto, el caso particular de la semejanza con k = 1.
Consejo: si k = 1 sale del enunciado, no hay ampliación ninguna; comprueba si has leído bien los datos.
Porque el paralelismo es lo que garantiza que los ángulos que las secantes forman con cada recta sean iguales, y de ahí salen los triángulos semejantes. Si dos rectas se cruzan aunque sea con un ángulo pequeñísimo, las razones dejan de coincidir, y con segmentos largos la diferencia se vuelve enorme.
Sí, siempre que las dos sombras se midan en el mismo momento y sobre terreno horizontal. Lo que no vale es medir la sombra de la vara por la mañana y la del edificio por la tarde: el Sol habrá cambiado de altura y los triángulos ya no serán semejantes. Con el Sol muy bajo las sombras se alargan tanto que el error de medida crece; a media mañana o media tarde se trabaja más cómodo.
Consejo: mide la sombra de un objeto desde el punto que está justo debajo de su parte más alta, no desde el borde exterior de su base.
No: pasar de 1:100 a 1:50 duplica cada longitud del dibujo, pero multiplica por cuatro la superficie de papel necesaria. Es el mismo k² de los triángulos. Por eso un plano a escala más detallada suele obligar a cambiar de formato de hoja.
Se corresponden los que quedan entre las mismas dos paralelas, o los que se oponen a ángulos iguales si trabajas con triángulos semejantes. Un truco fiable es ordenar los datos de cada figura de menor a mayor: en figuras semejantes el orden se conserva, así que el lado más corto de una va con el más corto de la otra.
Consejo: escribe las dos ternas una encima de otra antes de plantear nada; el emparejamiento se ve solo.
No. El teorema de Tales relaciona segmentos determinados por rectas paralelas sobre dos secantes. El teorema de la altura y el del cateto son consecuencias de la semejanza dentro de un triángulo rectángulo concreto. Comparten la idea de proporción, pero las hipótesis son distintas y no se pueden intercambiar.
Plantear a / b = a′ / b′ con letras y sustituir después evita colocar un dato en el sitio del otro.
Guarda la fracción completa mientras operas; redondear a mitad arrastra el error hasta el resultado final.
Pasa todo a la misma unidad antes de dividir. En escalas, los centímetros son casi siempre la mejor unidad puente.
Divide los dos pares de segmentos: si a / b y a′ / b′ no dan lo mismo, el resultado está mal emparejado.
Antes de multiplicar por k, pregúntate de qué magnitud hablas. Es la pregunta que decide entre k, k² y k³.
Resuelve primero en papel y compara después: el objetivo es detectar dónde falla tu razonamiento, no obtener el número.