Formulario de consulta rápida con 38 fórmulas: funciones elementales, versión con la regla de la cadena, dominios de validez y un ejemplo resuelto en cada fila. Busca y encuentra en segundos.
Funciona con acentos o sin ellos y con sinónimos: raíz encuentra √x, seno encuentra sen x, logaritmo encuentra ln x.
38 de 38 fórmulas
Qué mide una derivada, por qué fallan los atajos y cómo usar bien la tabla
La derivada de una función en un punto es su tasa de variación instantánea: cuánto cambia el resultado cuando la variable cambia un poquito. Geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Si la derivada es positiva, la función crece; si es negativa, decrece; si vale cero, la tangente es horizontal y ahí puede haber un máximo, un mínimo o un punto de inflexión.
Esa idea se formaliza con un límite: se toma la pendiente de la recta que une dos puntos de la curva (la secante) y se acercan esos puntos hasta que se confunden. Si prefieres verlo antes de memorizar la tabla, en meskeIA tienes el simulador de la derivada como pendiente de la tangente, donde puedes arrastrar el punto sobre la curva y observar cómo gira la recta.
Toda la tabla que has consultado arriba se deduce de esa única definición. Las reglas (producto, cociente, cadena) no son convenios arbitrarios: son consecuencias del comportamiento de los límites.
| Familia | Patrón de la derivada | Señal de alerta | Dónde aparece |
|---|---|---|---|
| Potencias | Baja el exponente y réstale 1 | Raíces y 1/x son potencias disfrazadas | Polinomios, áreas, volúmenes |
| Exponenciales | Se reproducen a sí mismas (por ln a si la base no es e) | Olvidar el factor ln a con bases distintas de e | Interés compuesto, desintegración, contagios |
| Logarítmicas | u′/u | El valor absoluto en ln|x| y el dominio x > 0 | Escalas sonoras, pH, entropía |
| Trigonométricas | Ciclo sen → cos → −sen → −cos | El signo menos del coseno | Ondas, oscilaciones, corriente alterna |
| Trigonométricas inversas | Fracciones con √(1 − x²) o 1 + x² | arcsen y arccos solo valen si |x| < 1 | Ángulos a partir de distancias, integrales |
| Hiperbólicas | Como las trigonométricas, pero sin el signo menos | cosh′ = senh (positivo), a diferencia de cos′ = −sen | Catenarias, relatividad, redes neuronales |
Si una función da la posición en función del tiempo, su derivada es la velocidad y la derivada de la velocidad es la aceleración. El velocímetro de un coche muestra literalmente una derivada.
Para encontrar la lata cilíndrica que gasta menos chapa con un volumen dado se deriva la función de superficie y se iguala a cero. La misma técnica sirve para minimizar costes o maximizar ingresos.
El entrenamiento de una red neuronal es descenso de gradiente: se calcula la derivada del error respecto de cada parámetro y se avanza en sentido contrario. Ahí aparecen tgh y la exponencial.
Crecimiento, extremos, concavidad y puntos de inflexión salen del signo de la primera y la segunda derivada. Es el bloque de análisis que más se repite en los exámenes de admisión universitaria.
Porque al variar x cambian los dos factores a la vez y el resultado recoge ambas contribuciones: (f·g)′ = f′·g + f·g′. La comprobación es inmediata con f = g = x: el atajo incorrecto daría 1·1 = 1, cuando la derivada de x² es 2x. La regla correcta devuelve 1·x + x·1 = 2x.
Truco de repaso: prueba siempre una regla dudosa con un caso que ya conozcas. Si falla ahí, la regla está mal.
En tres casos típicos: cuando hay un pico o esquina y las pendientes laterales no coinciden (por ejemplo |x| en x = 0), cuando la tangente es vertical (√x en x = 0) y cuando la función no es continua en ese punto. Toda función derivable es continua, pero lo contrario no se cumple: la continuidad es necesaria y no suficiente.
Antes de derivar una función definida a trozos, comprueba qué pasa exactamente en los puntos de unión.
Las dos formas son correctas. En los libros de texto en español se usa mayoritariamente sen, tg y cotg; en la notación internacional y en la mayoría de calculadoras y lenguajes de programación aparecen sin, tan y cot. Las fórmulas son idénticas: solo cambia la etiqueta.
El buscador de esta tabla acepta las dos notaciones, así que puedes escribir «tan» o «tg» indistintamente.
Porque la deducción usa el límite (sen h)/h → 1 cuando h → 0, y ese límite solo vale 1 si el ángulo se mide en radianes. Si trabajases en grados, la derivada del seno sería (π/180)·cos x. Es un motivo excelente para revisar el modo de la calculadora antes de un examen.
En cálculo, salvo aviso expreso, todos los ángulos están en radianes.
No toda con el mismo nivel de exigencia. Conviene tener automatizadas las de potencia, exponencial, logaritmo, seno y coseno, más las cuatro reglas (suma, producto, cociente y cadena): con eso se deducen casi todas las demás. Las inversas y las hiperbólicas suelen consultarse en un formulario, y ese es precisamente el uso de esta página.
Comprueba antes del examen si tu centro permite formulario: cambia por completo la estrategia de estudio.
¿Es una suma, un producto, un cociente o una composición? Esa decisión determina qué regla aplicas primero. Una suma se ataca término a término; un cociente pide la regla del cociente antes que nada.
Reescribe raíces y fracciones como potencias (√x = x^(1/2), 1/x³ = x⁻³) y aplica propiedades de logaritmos si las hay: ln(x²·y) = 2·ln x + ln y. Derivar una suma es mucho más fácil que derivar un producto.
Con la regla de la cadena, deriva desde fuera hacia dentro sin tocar el interior, y multiplica al final por la derivada de lo de dentro. En sen²(3x) las capas son: potencia, seno y 3x.
Usa el buscador de arriba para la fórmula elemental que necesites y fíjate en la versión con u: te ahorra el paso de recordar dónde va el factor u′.
La derivada nunca es válida fuera del dominio de la función original, y a veces es más pequeño todavía: √x existe en x = 0 pero no es derivable ahí. Anótalo en el examen: puntúa.
Saca factor común, reduce a común denominador y cancela. Un resultado sin simplificar hace mucho más difícil el paso siguiente (igualar a cero, estudiar el signo o volver a derivar).
Sustituye un número sencillo en tu derivada y compáralo con la pendiente aproximada [f(x + 0,001) − f(x)] / 0,001. Si no se parecen, hay un error de signo o un factor perdido.
Anótalo antes de simplificar, aunque valga 1. Es el olvido más caro en composiciones del tipo sen(3x) o e^(x²).
cos, arccos, arccotg, cotg y cosec llevan menos. Rodéalos con un círculo cuando los escribas: evita la mitad de los errores.
ⁿ√(xᵐ) = x^(m/n). Con esa reescritura solo necesitas una regla en lugar de memorizar casos sueltos.
En expresiones con varios factores y cocientes, la derivación logarítmica convierte el problema en una suma de términos u′/u.
Si la función crece en un tramo y tu derivada sale negativa ahí, hay un error. El control gráfico detecta fallos que la revisión algebraica pasa por alto.
Consulta esta página para verificar, no para resolver. La velocidad en el examen viene de haber reconstruido la fórmula tú mismo varias veces.
El contenido cubre desde el último tramo de la educación media (bachillerato en España, preparatoria en México, educación media superior o secundaria en otros países hispanohablantes) hasta los primeros cursos universitarios de cálculo en ingeniería, física, química o economía. Las filas de potencias, exponenciales, logaritmos y trigonométricas son las habituales en un examen de admisión universitaria; las hiperbólicas y las inversas menos frecuentes suelen aparecer ya en el primer curso de grado.
Si además de la derivada necesitas el camino inverso, la tabla de integrales es la app hermana de esta, con la misma estructura de búsqueda. Y para ver el concepto en movimiento, el simulador de la integral como área completa la pareja.