Formulario de consulta rápida con 40 primitivas: inmediatas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, tipo arcoseno y arcotangente, hiperbólicas y los cuatro métodos de integración. Con condiciones de validez y ejemplos resueltos.
Funciona con acentos o sin ellos y con sinónimos: raíz encuentra √x, seno encuentra sen x, logaritmo encuentra ln x.
40 de 40 fórmulas
Las 40 fórmulas y la regla de Barrow en una sola cara, en tamaño Carta o A4. En blanco, la hoja deja vacía la columna de la primitiva para practicar de memoria, y el solucionario sale en una segunda página para poder repartirla.
Del teorema fundamental a cómo elegir el método correcto
El teorema fundamental del cálculo es el puente entre las dos mitades del análisis: integrar una función y luego derivar el resultado te devuelve la función de partida. Por eso esta tabla de integrales es, en buena medida, la tabla de derivadas leída de derecha a izquierda, y por eso la mejor forma de comprobar una primitiva es derivarla.
Hay, sin embargo, una asimetría importante: derivar es un procedimiento mecánico que siempre funciona, mientras que integrar es más parecido a resolver un puzle. No existe un algoritmo universal, y por eso conviene reconocer patrones. Si quieres ver de dónde sale la idea de área acumulada, el simulador de la integral como área muestra el proceso con rectángulos que se van afinando.
| Concepto | Qué devuelve | Lleva + C | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Primitiva | Una función concreta cuya derivada es f | No (es una sola) | F(x) = x²/2 para f(x) = x |
| Integral indefinida | Todas las primitivas a la vez | Sí, obligatorio | ∫ x dx = x²/2 + C |
| Integral definida | Un número: área con signo | No (se cancela) | ∫ x dx entre 0 y 2 = 2 |
| Integral impropia | Un número o infinito, vía límite | No | ∫ dx/x² desde 1 hasta ∞ = 1 |
| Qué ves en el integrando | Método | Ejemplo típico |
|---|---|---|
| Una función y (casi) su derivada multiplicando | Sustitución | ∫ 2x·cos(x²) dx |
| Producto de tipos distintos (polinomio × exponencial…) | Por partes (ILATE) | ∫ x·eˣ dx |
| Cociente de polinomios | Fracciones simples | ∫ dx/(x² − 4) |
| Raíz de a² ± x² o x² − a² | Sustitución trigonométrica | ∫ √(1 − x²) dx |
| Potencia par de seno o coseno | Identidad del ángulo doble | ∫ sen²x dx |
| Denominador de la forma 1 + x² o a² + x² | Tipo arcotangente directo | ∫ dx/(4 + x²) |
El área entre dos curvas, el volumen de un sólido de revolución o la longitud de un arco se calculan con integrales definidas. Es el uso más directo y el que más aparece en los exámenes.
Si conoces la velocidad en cada instante, integrarla da el espacio recorrido. La misma idea sirve para acumular consumo eléctrico, caudal de agua o lluvia caída.
En una variable continua, la probabilidad de un intervalo es el área bajo la función de densidad. La campana de Gauss es justo el caso donde no existe primitiva elemental y se recurre a tablas o métodos numéricos.
El valor medio de una función en un intervalo es su integral dividida entre la longitud del intervalo. Es como se calcula la tensión eficaz de una corriente alterna o una temperatura media diaria.
Porque la derivada de una constante es cero, así que x²/2, x²/2 + 7 y x²/2 − π tienen exactamente la misma derivada. Una función continua tiene infinitas primitivas y todas se diferencian en una constante: la integral indefinida las representa a todas. En una integral definida, en cambio, la constante se cancela al restar F(b) − F(a) y no debe escribirse.
Es de los descuentos más baratos de evitar: se pierde nota por no escribir dos caracteres.
Porque 1/x está definida también para x negativo, y ln x no. Con el valor absoluto, la fórmula cubre los dos tramos: para x > 0 la derivada de ln x es 1/x, y para x < 0 la derivada de ln(−x) es (−1)/(−x) = 1/x. Además, este es el único caso en que la regla de la potencia falla, porque exigiría dividir entre n + 1 = 0.
La misma lógica se aplica a ln|cos x| en la integral de la tangente.
Porque el conjunto de funciones elementales (polinomios, exponenciales, logaritmos, trigonométricas y sus combinaciones) no es cerrado para la integración. El teorema de Liouville demuestra que integrandos como e^(−x²), sen(x)/x o 1/ln x no admiten ninguna primitiva expresable con esas funciones. No es que nadie la haya encontrado: está demostrado que no existe.
Esas integrales se calculan numéricamente o se les da nombre propio (la función error, el seno integral).
La regla ILATE (Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales) ordena los tipos de función por prioridad: se toma como u la que aparezca antes en la lista, porque al derivarla se simplifica. En algunos países se enseña como LIATE, con las logarítmicas primero; la diferencia es irrelevante en la práctica, porque rara vez aparecen juntas una inversa trigonométrica y un logaritmo.
Si tras aplicar por partes la integral resultante es más complicada, probablemente elegiste u al revés.
No necesariamente. Dos primitivas correctas pueden diferir en una constante y parecer distintas: arcsen x y −arccos x se diferencian en π/2, y −ln|cos x| es lo mismo que ln|sec x|. La comprobación definitiva es derivar tu resultado: si obtienes el integrando de partida, tu respuesta es válida aunque tenga otro aspecto.
Derivar el resultado cuesta treinta segundos y despeja cualquier duda en un examen.
Antes de complicarte, comprueba si el integrando ya está en la tabla o se parece a una fórmula conocida salvo constantes. Muchas integrales «difíciles» se resuelven ajustando un factor numérico.
Separa sumas, saca constantes fuera, convierte raíces en potencias y aplica identidades trigonométricas. Es habitual que una integral aparentemente compleja se convierta en dos inmediatas.
Si ves un bloque u(x) y, multiplicando, algo proporcional a u′(x), el cambio de variable resolverá la integral. Es el método que hay que probar siempre primero.
Polinomio por exponencial, polinomio por trigonométrica, logaritmo suelto o arcotangente suelta son los casos clásicos. Aplica ILATE para elegir u y no te asustes si hay que repetir el proceso dos veces.
Comprueba primero los grados: si el numerador no es de grado menor, divide. Luego factoriza el denominador y monta la descomposición en fracciones simples.
√(a² − x²) pide x = a·sen t; √(a² + x²) pide x = a·tg t; √(x² − a²) pide x = a·sec t. Recuerda deshacer el cambio con un triángulo auxiliar al terminar.
Cierra siempre con la constante en las indefinidas, y deriva tu primitiva para verificar que recuperas el integrando. Es la única comprobación que no falla nunca.
Ponlo en cuanto termines de integrar, no al final del ejercicio: si lo dejas para después, se olvida.
Es rápido y detecta constantes mal ajustadas, signos perdidos y factores 1/a olvidados en los cambios lineales.
Tras un cambio de variable, la integral debe quedar solo en u. Si te queda una x suelta, el cambio no era el adecuado.
Área con signo y área geométrica no son lo mismo. Si hay cortes con el eje, integra por tramos y suma valores absolutos.
u′/u, uⁿ·u′ y u′/(1 + u²) cubren una porción enorme de los ejercicios. Identificar el patrón es más útil que memorizar casos.
Si un camino no avanza en un par de minutos, prueba otro. Insistir en la sustitución equivocada consume el examen entero.
El contenido cubre desde el último tramo de la educación media (bachillerato en España, preparatoria en México, educación media superior o secundaria en otros países hispanohablantes) hasta los primeros cursos universitarios de cálculo en ingeniería, física, química o economía. Las inmediatas, las trigonométricas y los métodos de sustitución y por partes son el núcleo de cualquier examen de admisión universitaria; las fracciones simples, las sustituciones trigonométricas y las hiperbólicas se trabajan ya en el primer curso de grado.
Si lo que necesitas es el camino contrario, la tabla de derivadas es la app hermana de esta, con la misma estructura de búsqueda. Y para entender el concepto antes de aplicarlo, el simulador de la derivada como pendiente de la tangente cierra el círculo.
Toda primitiva lleva + C. Entre paréntesis, la condición para que la fórmula valga.