Formulario de consulta rápida con 59 entradas: límites trigonométricos, exponenciales y logarítmicos, el número e, las siete indeterminaciones, equivalencias infinitesimales, jerarquía de infinitos y sucesiones. Cada una con la razón de por qué vale eso y un ejemplo resuelto.
Funciona con acentos o sin ellos y con sinónimos: seno encuentra sen x, lhopital encuentra las indeterminaciones y infinitesimo encuentra las equivalencias.
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Qué es una indeterminación, cuándo valen las equivalencias y cómo elegir la técnica
Un límite notable es un resultado que aparece una y otra vez y que conviene tener reconocido de un vistazo, porque casi todos los ejercicios de cálculo se reducen a transformar la expresión hasta que aparece uno de ellos. No son fórmulas mágicas: cada uno se demuestra a partir de la definición de límite, de un desarrollo de Taylor o de un argumento geométrico. Lo que se memoriza es el atajo, no el concepto.
El punto de partida de casi toda la tabla es este, y de él salen las equivalencias trigonométricas:
Una indeterminación, en cambio, no es un resultado: es la señal de que los datos que tienes no bastan para decidir. Cuando al sustituir sale 0/0 no significa que el límite no exista, sino que hay que mirar más de cerca a qué velocidad se anulan numerador y denominador. Por eso se dice que hay que «resolver» la indeterminación.
| Forma | Técnica principal | Alternativa | Ejemplo típico |
|---|---|---|---|
| 0/0 | Factorizar y simplificar | Equivalencias o L’Hôpital | (x² − 4)/(x − 2) en x = 2 |
| ∞/∞ | Dividir entre el término dominante | Jerarquía de infinitos o L’Hôpital | (3x² + x)/(2x² − 1) |
| 0·∞ | Pasar un factor al denominador | Equivalencias | x·ln x en x → 0⁺ |
| ∞ − ∞ | Conjugado o común denominador | Taylor si hay cancelación fina | √(x² + x) − x |
| 1^∞ | Fórmula e^[lím g·(f − 1)] | Tomar logaritmos | (1 + 1/x)^x |
| 0⁰ | Tomar logaritmos | Reescribir como e^(g·ln f) | xˣ en x → 0⁺ |
| ∞⁰ | Tomar logaritmos | Jerarquía de infinitos | x^(1/x) en x → ∞ |
Fíjate en que las tres últimas son la misma técnica: cualquier potencia con base y exponente variables se convierte en exponencial de un producto, y ese producto ya es una indeterminación de las cuatro primeras.
El número e nació de este problema: capitalizar un tipo k en infinitos periodos multiplica el capital por e^k. Es lo que hay detrás de la fórmula del crecimiento continuo en finanzas y demografía.
Sustituir sen θ por θ es lo que permite resolver el péndulo simple o calcular la desviación de un rayo de luz. Con θ = 0,1 radianes el error es de dos milésimas.
La jerarquía de infinitos es exactamente lo que compara un algoritmo O(log n) con uno O(n²) o con uno exponencial. Decide qué programa sigue funcionando cuando los datos crecen.
Los límites laterales y en el infinito dan las asíntotas de una curva y detectan las discontinuidades. Es la primera herramienta al estudiar una función completa.
Porque el radián está definido de manera que la longitud del arco coincide con la medida del ángulo en la circunferencia de radio 1, y ese es el ingrediente de la comparación de áreas que demuestra el límite. Si se trabajase en grados, el arco mediría (π/180)·x y el límite valdría π/180 ≈ 0,01745. La misma advertencia se aplica a todas las derivadas trigonométricas.
En cálculo, salvo aviso expreso, todos los ángulos están en radianes. Comprueba el modo de la calculadora antes del examen.
Solo dentro de productos y cocientes. Si el infinitésimo es un sumando de una suma o de una resta, la sustitución puede destruir precisamente el término que decide el resultado. El caso de manual es (x − sen x)/x³: sustituir sen x por x da 0, cuando el valor correcto es 1/6.
Truco de seguridad: si ves un signo + o − entre dos infinitésimos, factoriza primero o recurre a Taylor.
Solo se puede aplicar a las formas 0/0 e ∞/∞, y exige que exista el límite del cociente de derivadas. Aplicarlo a otras formas sin transformarlas antes es un error grave. Además, a veces entra en bucle: en x/√(x² + 1) las derivadas sucesivas devuelven la expresión de partida y no se avanza nunca.
Se derivan numerador y denominador por separado, nunca el cociente con la regla del cociente.
Son cosas distintas. En álgebra y en programación se conviene que 0⁰ = 1 porque simplifica fórmulas como la del binomio, y por eso la calculadora responde 1. Como límite, en cambio, es indeterminado: el resultado depende de la velocidad relativa de base y exponente, y puede salir cualquier número no negativo.
Lo mismo pasa con 1^∞: 1 elevado a lo que sea es 1, pero «algo que tiende a 1» elevado a «algo que tiende a ∞» no tiene por qué serlo.
No con el mismo nivel de exigencia. Conviene tener automatizados sen x / x = 1, (eˣ − 1)/x = 1, ln(1 + x)/x = 1, (1 − cos x)/x² = 1/2 y la definición de e: con esos cinco y la jerarquía de infinitos se resuelve la gran mayoría de los ejercicios de un curso de cálculo I. El resto se consulta, y ese es el uso de esta página.
Comprueba antes del examen si tu institución permite formulario: cambia por completo la estrategia de estudio.
Antes de nada, mete el valor al que tiende la variable. Muchos límites no son indeterminados y se resuelven en un segundo. Solo si aparece una de las siete formas hay trabajo por delante.
Escríbela explícitamente en el papel: 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0⁰ o ∞⁰. Cada una tiene su técnica, y nombrarla te dice inmediatamente qué hacer a continuación.
Factoriza, simplifica, multiplica por el conjugado, reduce a común denominador o toma logaritmos. El objetivo siempre es llegar a un producto o a un cociente limpio, que es donde funcionan todas las herramientas.
Comprueba que cada infinitésimo que vas a sustituir está multiplicando o dividiendo, nunca sumando ni restando. Si hay una resta, factoriza primero o recurre al desarrollo de Taylor con un término más.
Sustituye un número próximo al punto (x = 0,001 o n = 10.000) y compara con tu resultado. Si no se parecen hay un signo perdido o una equivalencia mal aplicada, y este control lo detecta en treinta segundos.
Escribir «es 1^∞» antes de operar evita aplicar la técnica equivocada y, en la mayoría de rúbricas, puntúa por sí solo.
sen x es de orden 1 y 1 − cos x de orden 2. Comparar órdenes suele resolver el límite antes de escribir una sola línea de álgebra.
En puntos donde la función cambia de comportamiento, calcula el límite por la izquierda y por la derecha: si no coinciden, el límite no existe.
En cocientes con logaritmos, potencias y exponenciales, la jerarquía da el resultado de un vistazo y sin cadenas de derivadas.
Las equivalencias son el primer término de un desarrollo. Cuando fallan, el siguiente término del desarrollo es exactamente lo que necesitas.
Consulta esta página para verificar, no para resolver. La velocidad en el examen viene de haber reconstruido tú mismo el razonamiento varias veces.
El contenido cubre desde el último tramo de la educación media (preparatoria en México, bachillerato en España, educación media superior o secundaria en otros países hispanohablantes) hasta los primeros cursos universitarios de cálculo en ingeniería, física, química o economía. Los límites trigonométricos, los exponenciales y el número e son los habituales en un examen de admisión universitaria; el criterio de Stolz, la fórmula de Stirling y los desarrollos de Taylor suelen aparecer ya en cálculo I.
Si lo que necesitas es el paso siguiente del temario, la tabla de derivadas y la tabla de integrales son las apps hermanas de esta, con la misma estructura de búsqueda: los límites notables son justamente los que aparecen al calcular derivadas desde la definición.